Ранг матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы

Пусть задана некоторая матрица :

.

Выделим в этой матрице произвольных строк ипроизвольных столбцов
. Тогда определитель-го порядка, составленный из элементов матрицы
, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором-го порядка матрицы
.

Определение 1.13. Рангом матрицы
называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Для вычисления ранга матрицы следует рассматривать все ее миноры наименьшего порядка и, если хоть один из них отличный от нуля, переходить к рассмотрению миноров старшего порядка. Такой подход к определению ранга матрицы называется методом окаймления (или методом окаймляющих миноров).

Задача 1.4. Методом окаймляющих миноров определить ранг матрицы
.

.

Рассмотрим окаймление первого порядка, например,
. Затем перейдем к рассмотрению некоторого окаймления второго порядка.

Например,
.

Наконец, проанализируем окаймление третьего порядка.

.

Таким образом, наивысший порядок минора, отличного от нуля, равен 2, следовательно,
.

При решении задачи 1.4 можно заметить, что ряд окаймляющих миноров второго порядка отличны от нуля. В этой связи имеет место следующее понятие.

Определение 1.14. Базисным минором матрицы называется всякий, отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Теорема 1.2. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы.

Заметим, что строки (столбцы) матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одну из них можно представить как линейную комбинацию остальных.

Теорема 1.3. Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов матрицы и равно рангу матрицы.

Теорема 1.4. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель-го порядкабыл равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Вычисление ранга матрицы, основанное на использовании его определения, является слишком громоздкой операцией. Особенно это становится существенным для матриц высоких порядков. В этой связи на практике ранг матрицы вычисляют на основании применения теорем 10.2 - 10.4, а также использования понятий эквивалентности матриц и элементарных преобразований.

Определение 1.15. Две матрицы
иназываются эквивалентными, если их ранги равны, т.е.
.

Если матрицы
иэквивалентны, то отмечают
.

Теорема 1.5. Ранг матрицы не меняется от элементарных преобразований.

Будем называть элементарными преобразованиями матрицы
любые из следующих действий над матрицей:

Замену строк столбцами, а столбцов соответствующими строками;

Перестановку строк матрицы;

Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки умноженных на одно и то же число
.

Следствие теоремы 1.5. Если матрица
получена из матрицыпри помощи конечного числа элементарных преобразований, то матрицы
иэквивалентны.

При вычислении ранга матрицы ее следует привести при помощи конечного числа элементарных преобразований к трапециевидной форме.

Определение 1.16. Трапециевидной будем называть такую форму представления матрицы, когда в окаймляющем миноре наибольшего порядка отличного от нуля все элементы, стоящие ниже диагональных, обращаются в нуль. Например:

.

Здесь
, элементы матрицы
обращаются в нуль. Тогда форма представления такой матрицы будет трапециевидной.

Как правило, матрицы к трапециевидной форме приводят при помощи алгоритма Гаусса. Идея алгоритма Гаусса состоит в том, что, умножая элементы первой строки матрицы на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы первого столбца, расположенные ниже элемента
, превращались бы в нуль. Затем, умножая элементы второго столбца на соответствующие множители, добиваются, чтобы все элементы второго столбца, расположенные ниже элемента
, превращались бы в нуль. Далее поступают аналогично.

Задача 1.5. Определить ранг матрицы путем сведения ее к трапециевидной форме.

.

Для удобства применения алгоритма Гаусса можно поменять местами первую и третью строки.








.

Очевидно, что здесь
. Однако, для приведения результата к более изящному виду можно далее продолжить преобразования над столбцами.










.

А также рассмотрим важное практическое приложение темы: исследование системы линейных уравнений на совместность .

Что такое ранг матрицы?

В юмористическом эпиграфе статьи содержится большая доля истины. Само слово «ранг» у нас обычно ассоциируется с некоторой иерархией, чаще всего, со служебной лестницей. Чем больше у человека знаний, опыта, способностей, блата и т.д. – тем выше его должность и спектр возможностей. Выражаясь по молодёжному, под рангом подразумевают общую степень «крутизны».

И братья наши математические живут по тем же принципам. Выведем на прогулку несколько произвольных нулевых матриц :

Задумаемся, если в матрице одни нули , то о каком ранге может идти речь? Всем знакомо неформальное выражение «полный ноль». В обществе матриц всё точно так же:

Ранг нулевой матрицы любых размеров равен нулю .

Примечание : нулевая матрица обозначается греческой буквой «тета»

В целях лучшего понимания ранга матрицы здесь и далее я буду привлекать на помощь материалы аналитической геометрии . Рассмотрим нулевой вектор нашего трёхмерного пространства, который не задаёт определённого направления и бесполезен для построения аффинного базиса . С алгебраической точки зрения координаты данного вектора записаны в матрицу «один на три» и логично (в указанном геометрическом смысле) считать, что ранг этой матрицы равен нулю.

Теперь рассмотрим несколько ненулевых векторов-столбцов и векторов-строк :


В каждом экземпляре есть хотя бы один ненулевой элемент, и это уже кое-что!

Ранг любого ненулевого вектора-строки (вектора-столбца) равен единице

И вообще – если в матрице произвольных размеров есть хотя бы один ненулевой элемент, то её ранг не меньше единицы .

Алгебраические векторы-строки и векторы-столбцы в известной степени абстрактны, поэтому снова обратимся к геометрической ассоциации. Ненулевой вектор задаёт вполне определённое направление в пространстве и годится для построения базиса , поэтому ранг матрицы будем считать равным единице.

Теоретическая справка : в линейной алгебре вектор – это элемент векторного пространства (определяемое через 8 аксиом), который, в частности, может представлять собой упорядоченную строку (или столбец) действительных чисел с определёнными для них операциями сложения и умножения на действительное число. С более подробной информацией о векторах можно ознакомиться в статье Линейные преобразования .

линейно зависимы (выражаются друг через друга). С геометрической точки зрения во вторую строку записаны координаты коллинеарного вектора , который ничуть не продвинул дело в построении трёхмерного базиса , являясь в этом смысле лишним. Таким образом, ранг данной матрицы тоже равен единице.

Перепишем координаты векторов в столбцы (транспонируем матрицу ):

Что изменилось с точки зрения ранга? Ничего. Столбцы пропорциональны, значит, ранг равен единице. Кстати, обратите внимание, что все три строки тоже пропорциональны. Их можно отождествить с координатами трёх коллинеарных векторов плоскости, из которых только один полезен для построения «плоского» базиса. И это полностью согласуется с нашим геометрическим смыслом ранга.

Из вышеприведённого примера следует важное утверждение:

Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам . Об этом я уже немного упоминал на уроке об эффективных методах вычисления определителя .

Примечание : из линейной зависимости строк следует линейная зависимость столбцов (и наоборот). Но в целях экономии времени, да и в силу привычки я почти всегда буду говорить о линейной зависимости строк.

Продолжим дрессировать нашего любимого питомца. Добавим в матрицу третьей строкой координаты ещё одного коллинеарного вектора :

Помог ли он нам в построении трёхмерного базиса? Конечно, нет. Все три вектора гуляют туда-сюда по одной дорожке, и ранг матрицы равен единице. Можно взять сколько угодно коллинеарных векторов, скажем, 100, уложить их координаты в матрицу «сто на три» и ранг такого небоскрёба всё равно останется единичным.

Познакомимся с матрицей , строки которой линейно независимы . Пара неколлинеарных векторов пригодна для построения трёхмерного базиса. Ранг этой матрицы равен двум.

А чему равен ранг матрицы ? Строки вроде не пропорциональны…, значит, по идее трём. Однако ранг этой матрицы тоже равен двум. Я сложил первые две строки и записал результат внизу, то есть линейно выразил третью строку через первые две. Геометрически строки матрицы соответствуют координатам трёх компланарных векторов , причём среди этой тройки существует пара неколлинеарных товарищей.

Как видите, линейная зависимость в рассмотренной матрице не очевидна, и сегодня мы как раз научимся выводить её «на чистую воду».

Думаю, многие догадываются, что такое ранг матрицы!

Рассмотрим матрицу , строки которой линейно независимы . Векторы образуют аффинный базис , и ранг данной матрицы равняется трём.

Как вы знаете, любой четвёртый, пятый, десятый вектор трёхмерного пространства будет линейно выражаться через базисные векторы. Поэтому, если в матрицу добавить любое количество строк, то её ранг всё равно будет равен трём .

Аналогичные рассуждения можно провести для матриц бОльших размеров (понятно, уже без геометрического смысла).

Определение : ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк . Или: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых столбцов . Да, их количество всегда совпадает.

Из вышесказанного также следует важный практический ориентир: ранг матрицы не превосходит её минимальной размерности . Например, в матрице четыре строки и пять столбцов. Минимальная размерность – четыре, следовательно, ранг данной матрицы заведомо не превзойдёт 4.

Обозначения : в мировой теории и практике не существует общепринятого стандарта для обозначения ранга матрицы, наиболее часто можно встретить: – как говорится, англичанин пишет одно, немец другое. Поэтому давайте по мотивам известного анекдота про американский и русский ад обозначать ранг матрицы родным словом. Например: . А если матрица «безымянная», коих встречается очень много, то можно просто записать .

Как найти ранг матрицы с помощью миноров?

Если бы у бабушки нас в матрице был пятый столбец, то следовало бы вычислить ещё один минор 4-го порядка («синие», «малиновый» + 5-й столбец).

Вывод : максимальный порядок ненулевого минора равен трём, значит, .

Возможно, не все до конца осмыслили данную фразу: минор 4-го порядка равен нулю, но среди миноров 3-го порядка нашёлся ненулевой – поэтому максимальный порядок ненулевого минора и равен трём.

Возникает вопрос, а почему бы сразу не вычислить определитель? Ну, во-первых, в большинстве заданий матрица не квадратная, а во-вторых, даже если у вас и получится ненулевое значение, то задание с высокой вероятностью забракуют, так как оно обычно подразумевает стандартное решение «снизу вверх». А в рассмотренном примере нулевой определитель 4-го порядка и вовсе позволяет утверждать, что ранг матрицы лишь меньше четырёх.

Должен признаться, разобранную задачу я придумал сам, чтобы качественнее объяснить метод окаймляющих миноров. В реальной практике всё проще:

Пример 2

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

Решение и ответ в конце урока.

Когда алгоритм работает быстрее всего? Вернёмся к той же матрице «четыре на четыре» . Очевидно, решение будет самым коротким в случае «хороших» угловых миноров :

И, если , то , в противном случае – .

Размышление совсем не гипотетично – существует немало примеров, где всё дело и ограничивается только угловыми минорами.

Однако в ряде случаев более эффективен и предпочтителен другой способ:

Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса?

Параграф рассчитан на читателей, которые уже знакомы с методом Гаусса и мало-мальски набили на нём руку.

С технической точки зрения метод не отличается новизной:

1) с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду;

2) ранг матрицы равен количеству строк.

Совершенно понятно, что использование метода Гаусса не меняет ранга матрицы , и суть здесь предельно проста: согласно алгоритму, в ходе элементарных преобразований выявляются и удаляются все лишние пропорциональные (линейно зависимые) строки, в результате чего остаётся «сухой остаток» – максимальное количество линейно независимых строк.

Преобразуем старую знакомую матрицу с координатами трёх коллинеарных векторов:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку.

(2) Нулевые строки удаляем.

Таким образом, осталась одна строка, следовательно, . Что и говорить, это гораздо быстрее, чем рассчитать девять нулевых миноров 2-го порядка и только потом сделать вывод.

Напоминаю, что в самой по себе алгебраической матрице ничего менять нельзя, и преобразования выполняются только с целью выяснения ранга! Кстати, остановимся ещё раз на вопросе, почему нельзя? Исходная матрица несёт информацию, которая принципиально отлична от информации матрицы и строки . В некоторых математических моделях (без преувеличения) разница в одном числе может быть вопросом жизни и смерти. …Вспомнились школьные учителя математики начальных и средних классов, которые безжалостно срезали оценку на 1-2 балла за малейшую неточность или отклонение от алгоритма. И было жутко обидно, когда вместо, казалось бы, гарантированной «пятёрки» получалось «хорошо» или того хуже. Понимание пришло намного позже – а как иначе доверить человеку спутники, ядерные боеголовки и электростанции? Но вы не беспокойтесь, я не работаю в этих сферах =)

Перейдём к более содержательным заданиям, где помимо прочего познакомимся с важными вычислительными приёмами метода Гаусса :

Пример 3

Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

Решение : дана матрица «четыре на пять», значит, её ранг заведомо не больше, чем 4.

В первом столбце, отсутствует 1 или –1, следовательно, необходимы дополнительные действия, направленные на получение хотя бы одной единицы. За всё время существования сайта мне неоднократно задавали вопрос: «Можно ли в ходе элементарных преобразований переставлять столбцы?». Вот здесь – переставили первый-второй столбец, и всё отлично! В большинстве задач, где используется метод Гаусса , столбцы действительно переставлять можно. НО НЕ НУЖНО. И дело даже не в возможной путанице с переменными, дело в том, что в классическом курсе обучения высшей математике данное действие традиционно не рассматривается, поэтому на такой реверанс посмотрят ОЧЕНЬ криво (а то и заставят всё переделывать).

Второй момент касается чисел. В ходе решения полезно руководствоваться следующим эмпирическим правилом: элементарные преобразования по возможности должны уменьшать числа матрицы . Ведь с единицей-двойкой-тройкой работать значительно легче, чем, например, с 23, 45 и 97. И первое действие направлено не только на получение единицы в первом столбце, но и на ликвидацию чисел 7 и 11.

Сначала полное решение, потом комментарии:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. И до кучи: к 4-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на –1.

(2) Последние три строки пропорциональны. Удалили 3-ю и 4-ю строки, вторую строку переместили на первое место.

(3) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

В приведённой к ступенчатому виду матрице две строки.

Ответ :

Теперь ваша очередь мучить матрицу «четыре на четыре»:

Пример 4

Найти ранг матрицы методом Гаусса

Напоминаю, что метод Гаусса не предполагает однозначной жёсткости, и ваше решение, скорее всего, будет отличаться от моего решения. Краткий образец оформления задачи в конце урока.

Какой метод использовать для нахождения ранга матрицы?

На практике зачастую вообще не сказано, какой метод необходимо использовать для нахождения ранга. В такой ситуации следует анализировать условие – для одних матриц рациональнее провести решение через миноры, а для других значительно выгоднее применить элементарные преобразования:

Пример 5

Найти ранг матрицы

Решение : первый способ как-то сразу отпадает =)

Чуть выше я советовал не трогать столбцы матрицы, но когда есть нулевой столбец, либо пропорциональные/совпадающие столбцы, то всё же стОит провести ампутацию:

(1) Пятый столбец нулевой, удалим его из матрицы. Таким образом, ранг матрицы не больше четырёх. Первую строку умножили на –1. Это ещё одна фирменная фишка метода Гаусса, превращающая следующее действие в приятную прогулку:

(2) Ко всем строкам, начиная со второй, прибавили первую строку.

(3) Первую строку умножили на –1, третью строку разделили на 2, четвёртую строку разделили на 3. К пятой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

(4) К пятой строке прибавили третью строку, умноженную на –2.

(5) Последние две строки пропорциональны, пятую удаляем.

В результате получено 4 строки.

Ответ :

Стандартная пятиэтажка для самостоятельного исследования:

Пример 6

Найти ранг матрицы

Краткое решение и ответ в конце урока.

Следует отметить, что словосочетание «ранг матрицы» не так часто встретишь на практике, и в большинстве задач можно вообще обойтись без него. Но существует одно задание, где рассматриваемое понятие является главным действующим лицом, и в заключение статьи мы рассмотрим это практическое приложение:

Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?

Нередко помимо решения системы линейных уравнений по условию предварительно требуется исследовать её на совместность, то есть доказать, что какое-либо решение вообще существует. Ключевую роль в такой проверке играет теорема Кронекера-Капелли , которую я сформулирую в необходимом виде:

Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы , то система совместна, причём, если данное число совпадает с количеством неизвестных, то решение единственно.

Таким образом, для исследования системы на совместность нужно проверить равенство , где – матрица системы (вспоминаем терминологию из урока Метод Гаусса ), а – расширенная матрица системы (т.е. матрица с коэффициентами при переменных + столбец свободных членов).

Определение ранга матрицы

Рассмотрим матрицу \(A\) типа \((m,n)\). Пусть, для определенности, \(m \leq n\). Возьмем \(m\) строк и выберем \(m\) столбцов матрицы \(A\), на пересечении этих строк и столбцов получится квадратная матрица порядка \(m\), определитель которой называют минором порядка \(m\) матрицы \(A\). Если этот минор отличен от 0, его называют базисным минором и говорят, что ранг матрицы \(A\) равен \(m\). Если же этот определитель равен 0, то выбирают другие \(m\) столбцов, на их пересечении стоят элементы, образующие другой минор порядка \(m\). Если минор равен 0, продолжаем процедуру. Если среди всех возможных миноров порядка \(m\) нет отличных от нуля, мы выбираем \(m-1\) cтрок и столбцов из матрицы \(A\), на их пересечении возникает квадратная матрица порядка \(m-1\), ее определитель называется минором порядка \(m-1\) исходной матрицы. Продолжая процедуру, ищем ненулевой минор, перебирая все возможные миноры, понижая их порядок.

Определение.

Ненулевой минор данной матрицы наивысшего порядка называется базисным минором исходной матрицы, его порядок называется рангом матрицы \(A\), строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисныи строками и столбцами. Ранг матрицы обозначается \(rang(A)\).

Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\).

Как изменится ранг матрицы, если вычеркнуть какую-нибудь строку? Добавить какую-нибудь строку?

Проверить ответ

1) Ранг может уменьшиться на 1.

2) Ранг может увеличиться на 1.

Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы

Пусть \(A\) - матрица типа \((m,n)\). Рассмотрим столбцы матрицы \(A\) - это столбцы из \(m\) чисел каждый. Обозначим их \(A_1,A_2,...,A_n\). Пусть \(c_1,c_2,...,c_n\) - какие-то числа.

Определение.

Столбец \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _{m=1}^nc_mA_m \] называется линейной комбинацией столбцов \(A_1,A_2,...,A_n\), числа \(c_1,c_2,...,c_n\) называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение.

Пусть дано \(p\) столбцов \(A_1, A_2, ..., A_p\). Если существуют такие числа \(c_1,c_2,...,c_p\), что

1. не все эти числа равны нулю,

2. линейная комбинация \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _{m=1}^pc_mA_m\) равна нулевому столбцу (т.е. столбцу, все элементы которого нули), то говорят, что столбцы \(A_1, A_2, ..., A_p\) линейно зависимы. Если для данного набора столбцов таких чисел \(c_1,c_2,...,c_n\) не существует, столбцы называются линейно независимыми.

Пример. Рассмотрим 2-столбцы

\[ A_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), A_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right), \] тогда для любых чисел \(c_1,c_2\) имеем: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)+c_2\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right). \]

Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа \(c_1,c_2\) равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.

Утверждение. Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Пусть столбцы \(A_1,A_2,...,A_m\) линейно зависимы, т.е. для некоторых констант \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), не все из которых равны 0, выполняется: \[ \sum _{k=1}^m\lambda _kA_k=0 \] (в правой части - нулевой столбец). Пусть, например, \(\lambda _1 \neq 0\). Тогда \[ A_1=\sum _{k=2}^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] т.е. первый столбец - линейная комбинация остальных.

Теорема о базисном миноре

Теорема.

Для любой ненулевой матрицы \(A\) справедливо следующее:

1. Базисные столбцы линейно независимы.

2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.

(Аналогичное верно и для строк).

Пусть, для определенности, \((m,n)\) - тип матрицы \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) и базисный минор расположен в первых \(r\) строках и столбцах матрицы \(A\). Пусть \(s\) - любое число между 1 и \(m\), \(k\) - любое число между 1 и \(n\). Рассмотрим минор следующего вида: \[ D=\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1r} & a_{1s} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2r} & a_{2s} \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{r1} & a_{r2} & \ldots & a_{rr} & a_{rs} \\ a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kr} & a_{ks} \\ \end{array} \right| , \] т.е. мы к базисному минору приписали \(s-\)ый столбец и \(k-\)ую строку. По определению ранга матрицы этот определитель равен нулю (если мы выбрали \(s\leq r\) или \(k \leq r\) , значит в этом миноре 2 одинаковых столбца или 2 одинаковых строки, если \(s>r\) и \(k>r\) - по определению ранга минор размера больше \(r\) обращается в ноль). Разложим этот определитель по последней строке, получим: \[ a_{k1}A_{k1}+a_{k2}A_{k2}+....+a_{kr}A_{kr}+a_{ks}A_{ks}=0. \quad \quad(16) \]

Здесь числа \(A_{kp}\) - алгебраические дополнения элементов из нижней строки \(D\). Их величины не зависят от \(k\), т.к. образуются с помощью элементов из первых \(r\) строк. При этом величина \(A_{ks}\) - это базисный минор, отличный от 0. Обозначим \(A_{k1}=c_1,A_{k2}=c_2,...,A_{ks}=c_s \neq 0\). Перепишем в новых обозначениях (16): \[ c_1a_{k1}+c_2a_{k2}+...+c_ra_{kr}+c_sa_{ks}=0, \] или, разделив на \(c_s\), \[ a_{ks}=\lambda_1a_{k1}+\lambda_2a_{k2}+...+\lambda_ra_{kr}, \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Это равенство справедливо для любого значения \(k\), так что \[ a_{1s}=\lambda_1a_{11}+\lambda_2a_{12}+...+\lambda_ra_{1r}, \] \[ a_{2s}=\lambda_1a_{21}+\lambda_2a_{22}+...+\lambda_ra_{2r}, \] \[ ........................................................ \] \[ a_{ms}=\lambda_1a_{m1}+\lambda_2a_{m2}+...+\lambda_ra_{mr}. \] Итак, \(s-\)ый столбец является линейной комбинацией первых \(r\) столбцов. Теорема доказана.

Замечание.

Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).

Следствие 1.

Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.

Следствие 2.

Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Вычисление ранга матрицы и нахождение базисного минора

Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.

1. Перестановка столбцов.

2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.

3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.

4. Вычеркивание нулевого столбца.

Аналогичное верно и для строк.

С помощью этих преобразований матрицу можно преобразовать к так называемой "трапециевидной" форме - матрице, под главной диагональю которой располагаются только нули. Для "трапециевидной" матрицы ранг - это число ненулевых элементов на главной диагонали, и базисный минор - минор, диагональ которого совпадает с набором ненулевых элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.

Пример. Рассмотрим матрицу

\[ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end{array} \right). \] Будем преобразовывать ее с помощью указанных выше преобразований. \[ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end{array} \right) \mapsto \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end{array} \right) \mapsto \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end{array} \right) \mapsto \] \[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\mapsto \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end{array}\right). \]

Здесь мы последовательно делаем следующие шаги: 1) переставляем вторую строку наверх, 2) вычитаем первую строку из остальных с подходящим множителем, 3) вычитаем вторую строку из третьей 4 раза, прибавляем вторую строку к четвертой, 4) вычеркиваем нулевые строки - третью и четвертую. Наша итоговая матрица прибрела желаемую форму: на главной диагонали стоят ненулевые числа, под главной диагональю - нули. После этого процедура останавливается и число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы. Базисный минор при этом - две первые строки и два первых столбца. На их пересечении стоит матрица порядка 2 с ненулевым определителем. При этом, возвращаясь по цепочке преобразований в обратную сторону, можно проследить, откуда возникла та или иная строка (тот или иной столбец) в конечной матрице, т.е. определить базисные строки и столбцы в исходной матрице. В данном случае первые две строки и первые два столбца образуют базисный минор.

Пусть A - матрица размеров m\times n , а k - натуральное число, не превосходящее m и n : k\leqslant\min\{m;n\} . Минором k-го порядка матрицы A называется определитель матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов матрицы A . Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов - нижними, располагая их по возрастанию.

Пример 3.4. Записать миноры разных порядков матрицы

A=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица A имеет размеры 3\times4 . Она имеет: 12 миноров 1-го порядка, например, минор M_{{}_2}^{{}_3}=\det(a_{32})=4 ; 18 миноров 2-го порядка, например, M_{{}_{23}}^{{}^{12}}=\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=2 ; 4 минора 3-го порядка, например,

M_{{}_{134}}^{{}^{123}}= \begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end{vmatrix}=0.

В матрице A размеров m\times n минор r-го порядка называется базисным , если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы A обозначается \operatorname{rg}A .

Пример 3.5. Найти все базисные миноры и ранг матрицы

A=\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля

M_{{}_{12}}^{{}^{12}}= M_{{}_{13}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&2\\0&2 \end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{24}}^{{}^{12}}= M_{{}_{34}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}2&0\\2&3\end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{14}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}\!.

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

Замечания 3.2

1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.

2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.

4. Для ранга применяются также обозначения \operatorname{Rg}A,~ \operatorname{rang}A,~ \operatorname{rank}A .

5. Ранг блочной матрицы определяется как ранг обычной (числовой) матрицы, т.е. не обращая внимания на ее блочную структуру. При этом ранг блочной матрицы не меньше рангов ее блоков: \operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}A и \operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}B , поскольку все миноры матрицы A (или B ) являются также минорами блочной матрицы (A\mid B) .

Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы

Рассмотрим основные теоремы, выражающие свойства линейной зависимости и линейной независимости столбцов (строк) матрицы.

Теорема 3.1 о базисном миноре. В произвольной матрице A каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице A размеров m\times n базисный минор расположен в первых r строках и первых r столбцах. Рассмотрим определитель

D=\begin{vmatrix}~ a_{11}&\cdots&a_{1r}\!\!&\vline\!\!&a_{1k}~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots~\\ ~a_{r1}&\cdots&a_{rr}\!\!&\vline\!\!&a_{rk}~\\\hline ~a_{s1}&\cdots&a_{sr}\!\!&\vline\!\!&a_{sk}~\end{vmatrix},

который получен приписыванием к базисному минору матрицы A соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца. Отметим, что при любых 1\leqslant s\leqslant m и этот определитель равен нулю. Если s\leqslant r или k\leqslant r , то определитель D содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же s>r и k>r , то определитель D равен нулю, так как является минором (r+l)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем

a_{s1}\cdot D_{r+11}+\ldots+ a_{sr}\cdot D_{r+1r}+a_{sk}\cdot D_{r+1\,r+1}=0,

где D_{r+1\,j} - алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что D_{r+1\,r+1}\ne0 , так как это базисный минор. Поэтому

a_{sk}=\lambda_1\cdot a_{s1}+\ldots+\lambda_r\cdot a_{sr} , где \lambda_j=-\frac{D_{r+1\,j}}{D_{r+1\,r+1}},~j=1,2,\ldots,r.

Записывая последнее равенство для s=1,2,\ldots,m , получаем

\begin{pmatrix}a_{1k}\\\vdots\\a_{mk}\end{pmatrix}= \lambda_1\cdot\! \begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin{pmatrix}a_{1r}\\\vdots\\a_{mr}\end{pmatrix}\!.

т.е. k -й столбец (при любом 1\leqslant k\leqslant n ) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.

Теорема о базисном миноре служит для доказательства следующих важных теорем.

Условие равенства нулю определителя

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того чтобы определитель был равен нулю необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов {одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

В самом деле, необходимость следует из теоремы о базисном миноре. Если определитель квадратной матрицы n-го порядка равен нулю, то ее ранг меньше n , т.е. хотя бы один столбец не входит в базисный минор. Тогда этот выбранный столбец по теореме 3.1 является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор. Добавляя, при необходимости, к этой комбинации другие столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем, что выбранный столбец есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы. Достаточность следует из свойств определителя. Если, например, последний столбец A_n определителя \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) линейно выражается через остальные

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_{n-1}\cdot A_{n-1},

то прибавляя к A_n столбец A_1 , умноженный на (-\lambda_1) , затем столбец A_2 , умноженный на (-\lambda_2) , и т.д. столбец A_{n-1} , умноженный на (-\lambda_{n-1}) , получим определитель \det(A_1~\cdots~A_{n-1}~o) с нулевым столбцом, который равен нулю (свойство 2 определителя).

Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях

Теорема 3.3 (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.

Действительно, пусть . Предположим, что в результате одного элементарного преобразования столбцов матрицы A получили матрицу A" . Если было выполнено преобразование I типа (перестановка двух столбцов), то любой минор (r+l)-ro порядка матрицы A" либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы A , либо отличается от него знаком (свойство 3 определителя). Если было выполнено преобразование II типа (умножение столбца на число \lambda\ne0 ), то любой минор (г+l)-ro порядка матрицы A" либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы A , либо отличается от него множителем \lambda\ne0 (свойство 6 определителя). Если было выполнено преобразование III типа (прибавление к одному столбцу другого столбца, умноженного на число \Lambda ), то любой минор (г+1)-го порядка матрицы A" либо равен соответствующему минору (г+1) -го порядка матрицы A (свойство 9 определителя), либо равен сумме двух миноров (r+l)-ro порядка матрицы A (свойство 8 определителя). Поэтому при элементарном преобразовании любого типа все миноры (r+l)-ro порядка матрицы A" равны нулю, так как равны нулю все миноры (г+l)-ro порядка матрицы A . Таким образом, доказано, что при элементарных преобразованиях столбцов ранг матрицы не может увеличиться. Так как преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными, то ранг матрицы при элементарных преобразованиях столбцов не может и уменьшиться, т.е. не изменяется. Аналогично доказывается, что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях строк.

Следствие 1. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив при этом ее ранга.

Действительно, такую строку при помощи элементарных преобразований можно сделать нулевой, а нулевая строка не может входить в базисный минор.

Следствие 2. Если матрица приведена к простейшему виду (1.7), то

\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=r\,.

Действительно, матрица простейшего вида (1.7) имеет базисный минор r-го порядка.

Следствие 3. Любая невырожденная квадратная матрица является элементарной, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.

Действительно, если A - невырожденная квадратная матрица n-го порядка, то \operatorname{rg}A=n (см. п.З замечаний 3.2). Поэтому, приводя элементарными преобразованиями матрицу A к простейшему виду (1.7), получим единичную матрицу \Lambda=E_n , так как \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=n (см. следствие 2). Следовательно, матрица A эквивалентна единичной матрице E_n и может быть получена из нее в результате конечного числа элементарных преобразований. Это означает, что матрица A элементарная.

Теорема 3.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

В самом деле, пусть \operatorname{rg}A=r . Тогда в матрице A имеется r линейно независимых строк. Это строки, в которых расположен базисный минор. Если бы они были линейно зависимы, то этот минор был бы равен нулю по теореме 3.2, а ранг матрицы A не равнялся бы r . Покажем, что r - максимальное число линейно независимых строк, т.е. любые p строк линейно зависимы при p>r . Действительно, образуем из этих p строк матрицу B . Поскольку матрица B - это часть матрицы A , то \operatorname{rg}B\leqslant \operatorname{rg}A=r

Значит, хотя бы одна строка матрицы B не входит в базисный минор этой матрицы. Тогда по теореме о базисном миноре она равна линейной комбинации строк, в которых расположен базисный минор. Следовательно, строки матрицы B линейно зависимы. Таким образом, в матрице A не более, чем r линейно независимых строк.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов:

\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^T.

Это утверждение вытекает из теоремы 3.4, если ее применить к строкам транспонированной матрицы и учесть, что при транспонировании миноры не изменяются (свойство 1 определителя).

Следствие 2. При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.

В самом деле, выберем любые k столбцов данной матрицы A и составим из них матрицу B . Пусть в результате элементарных преобразований строк матрицы A была получена матрица A" , а в результате тех же преобразований строк матрицы B была получена матрица B" . По теореме 3.3 \operatorname{rg}B"=\operatorname{rg}B . Следовательно, если столбцы матрицы B были линейно независимы, т.е. k=\operatorname{rg}B (см. следствие 1), то и столбцы матрицы B" также линейно независимы, так как k=\operatorname{rg}B" . Если столбцы матрицы B были линейно зависимы (k>\operatorname{rg}B) , то и столбцы матрицы B" также линейно зависимы (k>\operatorname{rg}B") . Следовательно, для любых столбцов матрицы A линейная зависимость или линейная независимость сохраняется при элементарных преобразованиях строк.

Замечания 3.3

1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования выполняются только над ее столбцами.

2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любую невырожденную квадратную матрицу, используя элементарные преобразования только ее строк (либо только ее столбцов), можно привести к единичной матрице того же порядка.

В самом деле, используя только элементарные преобразования строк, любую матрицу A можно привести к упрощенному виду \Lambda (рис. 1.5) (см. теорему 1.1). Поскольку матрица A невырожденная (\det{A}\ne0) , то ее столбцы линейно независимы. Значит, столбцы матрицы \Lambda также линейно независимы (следствие 2 теоремы 3.4). Поэтому упрощенный вид \Lambda невырожденной матрицы A совпадает с ее простейшим видом (рис. 1.6) и представляет собой единичную матрицу \Lambda=E (см. следствие 3 теоремы 3.3). Таким образом, преобразовывая только строки невырожденной матрицы, ее можно привести к единичной. Аналогичные рассуждения справедливы и для элементарных преобразований столбцов невырожденной матрицы.

Ранге произведения и суммы матриц

Теорема 3.5 (о ранге произведения матриц). Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:

\operatorname{rg}(A\cdot B)\leqslant \min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}B\}.

В самом деле, пусть матрицы A и B имеют размеры m\times p и p\times n . Припишем к матрице A матрицу C=AB\colon\,(A\mid C) . Разумеется, что \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C) , так как C - это часть матрицы (A\mid C) (см. п.5 замечаний 3.2). Заметим, что каждый столбец C_j , согласно операции умножения матриц, является линейной комбинацией столбцов A_1,A_2,\ldots,A_p матрицы A=(A_1~\cdots~A_p):

C_{j}=A_1\cdot b_{1j}+A_2\cdot b_{2j}+\ldots+A_{p}\cdot b_pj},\quad j=1,2,\ldots,n.

Такой столбец можно вычеркнуть из матрицы (A\mid C) , при этом ее ранг не изменится (следствие 1 теоремы 3.3). Вычеркивая все столбцы матрицы C , получаем: \operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A . Отсюда, \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A . Аналогично можно доказать, что одновременно выполняется условие \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}B , и сделать вывод о справедливости теоремы.

Следствие. Если A невырожденная квадратная матрица, то \operatorname{rg}(AB)= \operatorname{rg}B и \operatorname{rg}(CA)=\operatorname{rg}C , т.е. ранг матрицы не изменяется приумножении ее слева или справа на невырожденную квадратную матрицу.

Теорема 3.6 о ранге суммы матриц. Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:

\operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B.

Действительно, составим матрицу (A+B\mid A\mid B) . Заметим, что каждый столбец матрицы A+B есть линейная комбинация столбцов матриц A и B . Поэтому \operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B)= \operatorname{rg}(A\mid B) . Учитывая, что количество линейно независимых столбцов в матрице (A\mid B) не превосходит \operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B , a \operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B) (см. п.5 замечаний 3.2), получаем доказываемое неравенство.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2 Найти ранг матрицы

А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу

В = ,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

.

Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Однородная система уравнений

Предложение 15 . 2 Однородная система уравнений

всегда является совместной.

Доказательство . Для этой системы набор чисел , , , является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .

Предложение 15 . 3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство . Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда

Так как , то -- решение.

Пусть -- произвольное число, . Тогда

Так как , то -- решение.

Следствие 15 . 1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15 . 5 Будем говорить, что решения системы образуют фундаментальную систему решений , если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.